Aceleración de gravedad (g)

Un cuerpo de masa m es atraído por la Tierra con una fuerza que constituye su peso y vale P = mg. Pero según la ley de gravitación universal esta fuerza también vale:

F= GmM/r2, en que M es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al cuerpo de masa m. Siendo estas fuerzas equivalentes, resulta:

mg = G mM/r2, es decir: g = G M/r2

Por medio de esta fórmula podemos calcular el valor de g a cualquier distancia del centro de la Tierra, conocinedo la masa M de ella y la distancia r.

Esta formula indica que a mayor distancia del centro de la Tierra la aceleración de gravedad es menor y, por lo tanto, los cuerpos que caen lo harán con movimiento uniformemente acelerado, pues a medida que el cuerpo cae el valor de g va aumentando.

Gravitación universal

La ley de gravitación universal fue dada a conocer por Isaac Newton en 1686 y el mito dice que fue inspirada por la caída de una manzana desde un árbol. Su enunciado es:

"Todo cuerpo del Universo atrae a los otros con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa"

F = G m1* M2/ r2, donde G es una constante de gravitación universal, puesta ahí por Cavendish (Inglés, 1731-1810) utilizando una balanza de torsión. G = 6,67 x10 (-11) (Mm2/Kg2) en MKS

Este valor de G quiere decir que dos masas de 1 Kg situadas a 1 m se atraen con la fuerza de 6,67x10(-11) N.

Problemas de Gravitación Universal

1. Calcular la aceleracionde gravedad en la superficie lunar si la masa es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1738 Km. Masa de la Tierra= 6x10(24) Kg
Respuesta: Hecho en clase

2. A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satelite de 500 Kg sobre el cual el campo gravitatorio terrestre actúa con la fuerza de 4000 Newton. ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio y la aceleración de gravedad a esa distancia?
Respuesta:
Recuerde que la intensidad del campo gravitatorio g = F/m; por lo tanto 4000/500 = 8 N/Kg.
La aceleración de gravedad tiene el mimo valor 8 m/s2.

3. Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 Km de la superficie terrestre si la masa de la Tierra es 5,98x10 (24) Kg y su radio 6370 Km?
Respuesta:
mg = G mM/r2, el radio son 6370 Km + 630 Km = 7000 Km o 7 millones de m.
Se reemplaza en la ecuación y listo: g = 8,14 m/s2.

4. ¿A que distancia de la superficie terrestre gira un sateliute en orbita circular si su masa es de 1000 Kg y el campo actúa sobre él con la fuerza de 8000N?
Respuesta: Usando F= GmM/r2, el radio es 6370 + d y se eleva al cuadrado. Los 6370 Km hay que transformarlos a metros. El resultado es d = 690 Km aprox.

Respuesta: 5. Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 Km de la superficie terrestre si la masa de la Tierra es de 5,98x10 (24) Kg y G=6,67x10-11
Respuesta:
La fuerza de atracción es igual al peso, por lo tanto podemos igualar P= G*mM/r2
si P= mg, decimos que mg=GmM/r2.
Las masas se simplifican y queda g= GM/r2. reemplazamos los datos; recuerde que el radio es 6370 Km + 3630 = 10.000 Km, es decir 10 Millones de metros desde el centro de la Tierra. Da un g= 4 N/Kg o 4 m/s2.

6. Un satelite de 80 Kg gira en una órbita circular. Si el campo gravitatorio actúa sobre el satelite con una fuerza de 16N. ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia?
Respuesta:
La intensidad del campo gravitatorio se expresa como g= F/m y su unidad es N/Kg.
Luego F= 16N y m= 80Kg, lo que da un g= 0,2 N/Kg.

Leyes de Kepler

1. El período de revoluciuón de Saturno es aprox 29,5 años. Calcular su distancia al sol. (periodo de la tierra = 1 año y distancia al sol = 1 U.A.) (1 U.A.= 1,5x10 (8) Km.)
Respuesta: Hecho en clases.

2. La aceleración de gravedad de Marte respecto a la Tierra es 0,37. Calcular la aceleración de gravedad en Marte en m/s2 si la Tierra es 9,8 m/s2
Respuesta:
si la aceleracionde gravedad en la Tierra es 9,8 m/s2 y la de Marte es 0,37 veces la de la Tierra, entonces se expresa: g de marte = 0,37* g de la Tierra. El producto da un g en Marte de 3,62 m/s2.

3. La densidad media del planeta Tierra es 5,5 g/cm3 y la de marte con relacion a la de la Tierra es 0,69. ¿ Cuál es la densidad de Marte en g/cm3?
Respuesta:
tome el valor de la densidad de la Tierra como 1 unidad y la de marte es 0,69 unidades. Luego por regla de 3 se obtiene D de marte = 3,79 g/cm3.

4. Calcular la aceleración de gravedad en un punto situado a la distancia a que se encuentra la Luna de la Tierra que es 60 radios terrestres.
Respuesta:
g1 en la superficie de la tierra es GMt/r2 y g2 a la distancia de la Luna es GMt/(60r)2
al dividir ambas ecuaciones da g1/g2 = (60r)2/r2 = 3600/1
de donde g2 = 1/3600*g1, se toma g1 como 9,8 m/s2 y se obtiene g2=2,7 x10(-3) m/s2.

La caída libre es un MUA

Son válidas las fórmulas:
a) vf=gt
b) h= 1/2 g t2
c) vf2- vi2 = 2gh
y cuando se suelta el cuerpo desde una altura h, se tiene que vi=0, entonces
vf = Raiz de 2gh

Nota: En la caída de los cuerpos la resistencia del aire aumenta con la velocidad de caída. En los primeros segundos la resistencia es pequeña y crece con el aumento de velocidad, hasta que después de cierto tiempo se hace igual al peso del cuerpo y desaparece la aceleración, es decir, a partir de ese instante el cuerpo alcanza su velocidad límite, continuando la caída con movimiento uniforme.

Movimiento uniformemente retardado (MUR)

Al MUR se le llama también aceleración negativa o retardación (-a)

Si v(final) - v(inicial) y v(final) es menor que vinicial, entonces -a = v(final) - v(inicial)/t
de aquí que v(final) -v(inicial)= -a*t

Si v(final) es = 0 (se detiene), entonces la ecuación quedaría -v(inicial) = -a*tmax
El tiempo que se demora el cuerpo en detenerse se llamaría "tiempo máximo" (tmax)
Por lo tanto tmax=vi/a

El espacio máximo (dmax) es el camino recorrido por el móvil desde el instánte que comienza la retardación hasta que se detiene.
Si d=Vm*t ; vi-vf/2 = Vm, entonces d = (vi + vf /2) *t, si vf =0 y t = tmax = vi/a

Sustituyendo d = vi/2 * vi/2 = vi2/2a, Así, dmax = vi2/2a

Sabemos que vf = vi -a*t ; d = Vm*t ; reemplazamos en Vm = (Vi + Vf )/2
Luego d= (vi + vi -a*t)/2 *t
d= (2vi - a*t /2) * t, esto significa que al multiplicar queda: d= (2vi*t - a*t)/2
es decir d = vi*t - a/2*t2

Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA)

Un móvil tiene un Movimiento uniformemente acelerado cuando el cuerpo aumenta o disminuye su velocidad siempre al mismo ritmo.
si a = delta v/t, entonces V = V0 + at
El movil de la foto experimenta siempre el mismo cambio de velocidad.

la aceleración media es a = v(final) - v (inicial) /t = delta v/delta t
la rapidez media será Vm = v(final) + v(inicial)/2
El espacio recorrido durante el tiempo t será d = Vm*t

Sabemos que d=Vm*t y que Vm= (vi + vf)/2, es decir d=(vi + vf)/2 *t,
pero vf = vi + at, entonces
d= (vi + vi + at)/2 *t , reordenando: d = (2 vi + at)/2 * t
quedando d= (vi*t + at2)/2 por lo tanto
d= vi*t + a/2* t2

Haremos otra deducción:
sabemos que vf-vi = a*t ; d=Vm*t, luego vf- vi = a* (d/Vm)
Vm(vf - vi) = a*d; pero como Vm = (vf + vi)/2
entonces (vf + vi)/2* (vf-vi) = a*d, esta ecuación se multiplica por 2
(vf + vi)(vf-vi) = 2ad
vf2 - vi2 = 2ad si vi=0, entonces vf2 = 2ad, por lo tanto vf=Raiz de 2ad

Movimiento Acelerado

Movimiento acelerado o variado se le llama a cualquier movimiento cuya velocidad no permanezca constante, es decir, un movimiento en el cual la velocidad aumente, disminuya (frene) o cambie de dirección. Este movimiento es típico de un carro de montaña rusa.

La aceleración es el cambio de rapidez en un período de tiempo: a = delta v/t
donde delta v = v (final) - v (inicial)
La aceleración de un móvil se puede graficar como distancia vs tiempo o como velocidad vs tiempo.

Grafico Velocidad vs tiempo

En este tipo de gráfico, el área bajo la curva corresponde al desplazamiento en (m) de un móvil y se obtiene sacando el area total dividiendola en superficies más pequeñas como cuadrados, rectangulos o triangulos, que son facilmente calculables.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

MUR= el movimiento rectilíneo uniformemente se caracteriza por ser muy regular y por lo tanto predictible en el tiempo. Por lo tanto un cuerpo realiza desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales. En el gráfico distancia (x) vs tiempo (t) se observa una línea recta con igual pendiente. La pendiente en este tipo de grafico corresponde a la velocidad.

La pendiente (n) se obtiene como n=delta y/delta X

si, sabemos que Vm = d(final) - d (inicial)/ t
despejando la ecuación tenemos que d (final) = d (inicial) + vt

Velocidad y Rapidez

Rapidez media (Vm): se define como la razón entre la distancia total recorrida por un cuerpo (d) y el tiempo total (t) empleado en dicho recorrido. Vm= d/t

Velocidad media (Vm con vector): La velocidad media corresponde a la razón entre el desplazamiento realizado y el tiempo total empleado.

La velocidad es una magnitud vectorial porque depende de una dirección; mientras que la rapidez es una magnitud escalar porque no depende de la dirección.

Movimiento y reposo relativos

El Movimiento es un cambio de posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia. Está claro que el sentido de movimiento es relativo, ya que si vamos en un avión, nuestros compañeros de viaje se perciben como en reposo respecto a nosotros y podemos decir que duermen en sus asientos muy tranquilos. Sin embargo, en avión con fuselaje transparente, una persona que está afuera diría que todos los pasajeros se mueven y lo hacen a una velocidad rapidisima, respecto al observador afuera del avión. Asi, el movimiento depende del observador.
Usualmente nuestro sistema de referencia suele ser la Tierra y las montañas como la cordillera de los Andes están claramente en reposo, pero si observamos la cordillera desde la luna veríamos que esta se mueve a una velocidad impresionante.

Trayectoria: es la curva o camino recorrido que describe el cuerpo en su movimiento desde un punto A a un punto B.

Desplazamiento: Es el cambio de posición que experimenta el cuerpo de un punto A a un punto B, sin importar el camino intermedio. Se representa como una línea recta o flecha desde A a B

Distancia recorrida: es la longitud de la trayectoria o distancia efectivamente recorrida por un móvil.

Movimiento y Reposo

Se cuenta que hace años, un científico inició una conferencia sobre el movimiento dando dos golpes con su puño sobre la mesa, con un intervalo de 2 segundos entre ellos. Después de esto dijo a la concurrencia: "les puedo asegurar que los dos golpes anteriores los he dado en lugares diferentes. De hecho, los golpes fueron dados en puntos que se encuentran a varios Kilómetros uno del otro".
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